Kelly-Rechner, Investment-Kelly & Portfolio-Optimizer

Klassisches Kelly-Kriterium

Bestimmt den optimalen Kapitaleinsatz bei wiederholten Entscheidungen mit Gewinnwahrscheinlichkeit sowie definiertem Gewinn und Verlust.

🎯 Eingabe

Gewinnrate (%)

Gewinn (%)

Risiko (%)

Startkapital

€

📊 Ergebnis

Optimales Investitionsverhältnis

—

Bitte Werte eingeben und berechnen

⚠️ Negatives Kelly-Ergebnis: Diese Wette solltest du nicht eingehen. Der Erwartungswert ist negativ.

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Gewinnrate

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Nettoquote (b)

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Verlustrate

🎲 Kelly-Simulator

mal

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Gewinne

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Verluste

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Gewinnrate

Endkapital nach Investitionsanteil (logarithmische Skala)

Portfolio-Kelly-Optimizer

Optimiert mehrere Assets gemeinsam über Renditen und Kovarianzmatrix und unterscheidet dabei zwischen verzinstem Cash und optionaler Fremdfinanzierung.

🧮 Portfolio-Kelly-Optimizer

Optimiert beliebig viele Risky Assets gemeinsam (Standard: MSCI World, Bitcoin, Gold, REITs). Der Optimizer nutzt Kovarianzen und Korrelationen. Die Inflation (Standard 2 %) wird wie im Investment-Tab von jeder Asset-Rendite abgezogen (Kelly auf Realrendite). Positives Cash wird mit der Cashrendite verzinst; mit Fremdkapital kann das Netto-Risky-Exposure über 100 % steigen, wenn der Kreditzins den Hebel noch lohnt.

€-Cashrendite p.a.

Inflation p.a.

Startkapital

€

Zeithorizont

Jahre

Fremdkapital zulassen Aus

Aus: Netto-Risky-Exposure höchstens 100 %. An: Full Kelly darf über 100 % gehen (negatives Cash = Kredit), sofern der Kreditzins den Hebel im Modell noch rechtfertigt. Hoher Kreditzins drückt das Optimum oft genau auf 100 %.

Kreditzins p.a.

Short-Positionen zulassen Aus

Aus: Long-only-Optimierung mit wᵢ ≥ 0 %. An: der Optimizer darf einzelne Assets negativ gewichten. Die Restriktion wird direkt in der Optimierung berücksichtigt.

Assets

Korrelationen

Position	Full Kelly	Half Kelly	Betrag

Kelly-Allokation nach Position

Verglichen werden Full Kelly und die aktuell ausgewählte Fractional-Kelly-Stufe. Negative Cash-Balken stehen nur dann für Kreditaufnahme, wenn Fremdkapital aktiviert ist.

Erwartetes logarithmisches Wachstum nach Netto-Risky-Exposure

x-Achse = Netto-Risky-Exposure in % des Eigenkapitals. Full Kelly liegt beim berechneten Exposure (kann über 100 % liegen, wenn Fremdkapital an ist).

Risky Exposure

—

Summe der Risky-Asset-Gewichte

Erwartete Rendite

—

inklusive Cashkomponente

Portfolio-Volatilität

—

aus der Kovarianzmatrix

Cash / Finanzierung

—

Restgewicht

Was wird aus 50.000 € nach 10 Jahren?

Erwartetes Endkapital (nominal) aus dem Log-Wachstumsmodell bei konstanter Allokation. Kaufkraft = nominal minus Inflation. Cash-only zum Vergleich.

Half Kelly

—

Full Kelly

—

Vermögensverlauf über den Zeithorizont

Verglichen werden die gewählte Fractional-Kelly-Stufe, Full Kelly und reines Euro-Cash. Die Kurve folgt dem erwarteten logarithmischen Wachstum der jeweiligen Allokation.

🎲 Monte-Carlo-Simulation

Läuft automatisch mit den aktuellen Portfolio-Parametern. Simuliert korrelierte Jahresrenditen (multivariat normal aus μ und Σ) bei fixer Kelly-Allokation. Anzahl ändern oder erneut simulieren, um frische Zufallszüge zu holen.

mal

—

Median Endkapital

—

5. Perzentil

—

95. Perzentil

—

Verlustquote

—

Besser als Cash

Median-Endkapital nach Netto-Risky-Exposure (Simulation, log)

x-Achse = Netto-Risky-Exposure. Full Kelly liegt beim berechneten Exposure (kann über 100 % liegen). Jeder Punkt nutzt dieselben simulierten multi-Asset-Renditen.

Vermögensband über die Jahre (Simulation)

P10–P90-Band und Median für die aktuell gewählte Fractional-Kelly-Stufe, plus reines Euro-Cash.

Shorts vs. Finanzierung: Das sind zwei getrennte Dinge. Ein negatives Asset-Gewicht ist eine Short-Position. Ein negatives Cashgewicht bedeutet dagegen, dass das Portfolio insgesamt mit Kredit gehebelt wird. Beide Möglichkeiten lassen sich jetzt unabhängig voneinander ein- oder ausschalten.

g(w) = r + wᵀ(μ − r1) − ½wᵀΣw | Fremdkapital aus: 1ᵀw ≤ 1 | Shorts aus: wᵢ ≥ 0

📖 Dokumentation

1 | Anwendung des Rechners

Der Rechner berechnet die Investitionsgröße für wiederholte Prozesse mit bekannten Wahrscheinlichkeiten. Er maximiert dabei die langfristige Wachstumsrate des Kapitals.

→Gewinnrate (p): Die Wahrscheinlichkeit, mit der das Szenario einen positiven Ertrag generiert.
→Gewinn (b): Die erwartete relative Rendite im Erfolgsfall. Beispiel: 100 € Einsatz → 10 € Gewinn = 10 %.
→Risiko (a): Die erwartete Verlustrate im Negativszenario. Beispiel: 100 € Einsatz → 10 € Verlust = 10 %.

Das optimale Investitionsverhältnis gibt den Anteil des Gesamtkapitals an, der pro Durchgang eingesetzt wird. Werte über 100 % würden theoretisch Fremdkapital (Hebel) erfordern. Der Rechner begrenzt das Ergebnis auf 100 %.

2 | Definition & Grundlagen

Das Kelly-Kriterium beschreibt die Einsatzgröße bei wiederholten Entscheidungen. Es maximiert den erwarteten logarithmischen Vermögenszuwachs. Dafür braucht das Modell geschätzte Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungen.

3 | Risiken & Sensitivitäten

Das Modell geht von deterministischen Variablen aus. In der Praxis sind Eintrittswahrscheinlichkeit und Payoffs variabel und können nur geschätzt werden.

Das Ergebnis reagiert stark auf kleine Änderungen der Eingaben. Überschätzt du die Gewinnwahrscheinlichkeit, kann der Einsatz zu hoch ausfallen und der Drawdown steigen. Deshalb wird in der Praxis oft nur ein Teil des Kelly-Werts verwendet, zum Beispiel 50 % (Half-Kelly).

4 | Ökonomische Nützlichkeit

Das Modell passt die Einsatzgröße an die Schwankungen des Assets an. Bei höherer Volatilität fällt der berechnete Kapitalanteil kleiner aus.

Beispiel: Zwei Szenarien haben dasselbe Gewinn-/Verlustverhältnis: Szenario A mit +20 % Gewinn und −10 % Risiko sowie Szenario B mit +10 % Gewinn und −5 % Risiko. Für das volatilere Szenario A halbiert das Kelly-Kriterium den Investitionsbetrag gegenüber Szenario B.

5 | Mathematische Formulierung

Wenn im Verlustfall nicht der vollständige Einsatz verfällt (Risiko a < 100 %), gilt das Kelly-Kriterium:

      f* = (p / a) − (q / b)
    

f*Optimales Investitionsverhältnis (Kapitalanteil als Dezimalzahl)
pGewinnwahrscheinlichkeit (0 ≤ p ≤ 1)
qVerlustwahrscheinlichkeit (q = 1 − p)
aVerlustrate bei Misserfolg
bRenditequote bei Erfolg

6 | Investment-Kelly

Für Exposure bis 100 % ist der relevante Alternativzins die Cashrendite. Die voreingestellte Euro-Cashrendite beträgt 2,25 % p.a. Oberhalb von 100 % wird zusätzliches Exposure nicht aus Cash finanziert, sondern aus Kredit; deshalb verwendet der Rechner dort den separat eingegebenen Kreditzins.

g(f) = r + f(μ − r) − ½f²σ²   |   r = rCash für f ≤ 1, rKredit für f > 1

Ist Fremdkapital ausgeschaltet, gilt zusätzlich f ≤ 1. Ist es eingeschaltet, kann das Optimum über 100 % liegen. Ein höherer Kreditzins drückt das Kelly-Optimum nach unten und kann dazu führen, dass genau 100 % Exposure optimal sind.

Cash / Finanzierung ist dabei schlicht 1 − f: Bei f = 0,70 liegen 30 % des Vermögens in Cash; bei f = 1,00 sind 100 % investiert und 0 % Cash vorhanden; bei f = 1,30 entspricht der Wert −30 %, also 30 % zusätzlich aufgenommenem Fremdkapital.

7 | Portfolio-Kelly

Bei mehreren Assets wird die Kovarianzmatrix verwendet. Der Optimizer maximiert die angenäherte logarithmische Wachstumsrate. Solange das Cashgewicht positiv ist, gilt der Cashzins; bei negativem Cashgewicht und aktivierter Fremdfinanzierung gilt für diesen Anteil der Kreditzins.

g(w) = r + wᵀ(μ − r1) − ½wᵀΣw

Ohne Fremdkapital wird die Optimierung unter der Nebenbedingung Σw ≤ 1 gelöst. Mit Fremdkapital prüft der Rechner die Cash-Region, die Kredit-Region und die 100-%-Grenze und nimmt die Lösung mit der höchsten modellierten Wachstumsrate. Sind Shorts ausgeschaltet, gilt zusätzlich für jedes Asset wᵢ ≥ 0. Diese Long-only-Bedingung wird direkt bei der Optimierung gelöst; negative Gewichte werden nicht erst nachträglich abgeschnitten. Fractional Kelly skaliert anschließend die Risky-Asset-Gewichte.

Kelly-Kriterium Rechner

Klassisches Kelly-Kriterium

Investment-Kelly

Portfolio-Kelly-Optimizer